로또 1,000원의 기댓값 계산

로또 한 게임은 1,000원입니다. 이 1,000원을 넣었을 때 평균적으로 얼마가 되돌아오는가, 이것을 기댓값이라고 합니다. 도박이나 복권을 냉정하게 볼 때 가장 먼저 계산하는 숫자이기도 합니다. 계산 자체는 어렵지 않고, 그 결과가 무엇을 뜻하는지가 오히려 더 중요합니다.

기댓값이라는 개념부터

기댓값은 “일어날 수 있는 모든 결과에, 각각의 확률을 곱해서 전부 더한 값”입니다. 말은 거창하지만 뜻은 단순합니다. 같은 게임을 아주 여러 번 반복하면 한 판당 평균적으로 이만큼 손에 남더라, 하는 장기 평균입니다.

로또의 기댓값을 등수별로 일일이 더해서 구할 수도 있습니다. 1등 확률에 1등 상금을 곱하고, 2등 확률에 2등 상금을 곱하고… 이런 식으로 5등까지 더하는 방식입니다. 하지만 로또에는 이 지루한 덧셈을 건너뛰게 해 주는 지름길이 있습니다.

지름길: 판매액 배분에서 바로 읽기

로또 당첨금은 미리 정해진 상금 표가 아니라, 그 주에 팔린 금액에서 나옵니다. 현재 제도에서 판매액의 정확히 절반, 즉 50%가 당첨금 재원으로 배정됩니다. 나머지 절반가량은 공익기금과 운영비로 쓰입니다.

여기서 기댓값이 곧바로 나옵니다. 팔린 돈의 절반이 당첨자들에게 되돌아가는 구조라면, 표를 사는 사람 입장에서 평균 환급률도 약 50%입니다. 즉 1,000원을 넣으면 당첨금 형태로 평균 약 500원이 돌아오고, 나머지 약 500원은 돌아오지 않습니다. 판을 아주 많이 반복할수록 이 평균에 가까워집니다.

이 500원이라는 숫자는 특정 회차 데이터가 아니라 배분 구조 자체에서 나온 값이라, 회차가 바뀌어도 크게 흔들리지 않습니다. 판매액이 많든 적든 절반이 재원이라는 규칙은 그대로이기 때문입니다.

기댓값이 말해 주지 않는 것

여기서 오해하기 쉬운 지점이 있습니다. “그럼 평균 500원이니 두 장 사면 대략 본전이겠네”는 완전히 틀린 읽기입니다. 기댓값은 수백만 번을 반복했을 때의 평균이지, 다음 한 장에 대한 예언이 아닙니다.

실제로 로또는 대부분 0원(꽝)이고 아주 드물게 거액이 터지는, 극단적으로 쏠린 분포입니다. 평균이 500원이라고 해서 매번 500원어치가 돌아오는 게 아니라, 거의 항상 0원이다가 극소수만 큰 금액을 받는 식으로 그 평균이 만들어집니다. 그러니 “평균적으로 손해”라는 큰 그림은 기댓값이 정직하게 알려 주지만, “이번 장은 어떨까”에 대해서는 기댓값도 침묵합니다.

그러면 이 숫자를 어디에 쓰나

기댓값 −500원은 로또를 투자로 대하면 안 되는 이유를 분명하게 보여 줍니다. 장기적으로 넣은 돈의 절반은 구조적으로 돌아오지 않습니다. 동시에 이 계산은 로또덱의 입장도 설명해 줍니다. 우리는 이 −500원을 플러스로 바꿀 방법을 팔지 않습니다. 그런 방법은 없습니다. 다만 드물게 당첨이라는 사건이 일어났을 때, 그 상금을 몇 명과 나누게 되는지는 조합의 유형에 따라 달라지고, 로또덱이 데이터로 다루는 것은 확률이 아니라 바로 그 부분입니다.